III.

Hyperbolae quarum transversae rectis diametris sunt proportionales: sunt inter se similes et e²³ contrario similium hyperbolarum proportionales sunt traversae²⁴ rectis diametris.

Sint duae hyperbolae AB, DE, quarum transversae AG, DZ, sint rectis diametris AH DT proportionales. Aio quod similes sunt AB, DE hyperbolae. capiantur enim ex axibus segmenta AK, DL diametris ipsis proportionalia; et ordinate ducantur BK, EL; et producantur ut ipsis GH, ZT coniunctis, productisque coincidant ad M N puncta. itaque ex hypothesi, fiet sicut AK ad DL, sic iam KM ad LN. similia igitur erunt rectangula AKM, DLN; et perinde eorum ratio erit ipsarum AK ad DL duplicata²⁵; et ideo sicut ipsarum AG ad²⁶ DZ²⁷ ratio duplicata. Sed per 12. primi Conicorum quadratum BK aequum est²⁸ rectangulo AKM: et per eamdem, quadratum EL aequum rectangulo DLN. item quadratorum²⁹ BK, EL ratio erit, et ipsarum bk³⁰ ad³¹ EL duplicata. equales³² igitur sunt hae rationes duplicatae: quandoquidem tetragona quadratis aequalia. ergo et ipsae rationes aequales, hoc est, bk³³ ad EL, sicut AK ad DL. quo sit, ut cum in conicis sectionibus AB, ED ipsa³⁴ axium segmenta AK³⁵, DL³⁶ diametris proportionalia, suscipiant ipsas BK, EL ordinatas, sibi proportionales. idque ipsum eveniat, simili argumento, in quibuscunque axium segmentis, ad diametrorum rationem assumptis. [C:18r] Iam per diffinitionem similes sunt³⁷ AB, ED sectiones. Quod erat demonstrandum. Conversaque³⁸ haud difficilius ostendetur ex hyperbola³⁹, et aequa proportione.

Unde⁴⁰ constat hyperbolas, quarum transversae aequales, et rectae aequales: esse quoque inter se similes, et aequales. Namque ex aequalitate diametrorum sequitur⁴¹ aequalitatem tetragonarum⁴² superficierum, quas possunt ordinatae, et perinde ipsarum ordinatarum aequalitatem; et per diffinitionem sectiones similes, et aequales esse, et e contrario.