XXIX.⁴⁵⁹

Hyperbolae, quarum non tangentes continent aequos angulos: sunt similes; et similium hyperbolarum non tangentes linae comprehendunt aequale angulos.[S:191]

Sunto duae hyperbolae ab, gd; quarum non tangentes ezh, tkl ipsos angulos ezh, tkl faciant aequales. Aio quod similes sunt ipsae ab, gd hyperbolae⁴⁶⁰. Sint⁴⁶¹ enim ipsarum axes, atque eaedem semidiametri zb, kd, ad quas ordinate et perinde⁴⁶² ad rectos ducantur bm, dn apud m, n puncta coincidentes non tangentibus. Nam ipsae bm, dn, per 32. 1. Conicorum tangent sectiones, et per 3. 2. poterunt quadrantes specierum. Itaque ipsas zb, bm tertia proportionalis bx et ipsas kd dn tertia proportionalis subsequatur do. Eritque per 16. 6. Euclidis quadratum bm aequale rectangulo zbx itemque quadratum dn aequale rectangulo kdo. Igitur rectangulum zbx quadrans erit speciei in hyperbola ab. Atque rectangulum kdo quadrans speciei in hyperbola gd. Sed quadrans speciei comprehenditur sub semidiametris transversis scilicet ac⁴⁶³ rectis ipsaeque zb kd sunt semidiametri transversae igitur⁴⁶⁴ bx do sunt semidiametri rectae. Ostendendum est itaque quod zb kd sunt ipsis bx do proportionales, et perinde⁴⁶⁵ diametri diametris proportionales, hoc modo. Anguli bzm, dkn sunt aequales, quandoquidem aequalium dimidii anguli ad⁴⁶⁶ bd recti et ob id similia sunt triangula zbm kdn. Quamobrem sicut zb ad bm sic kd ad dn, et perinde⁴⁶⁷ sicut quadratum zb ad quadratum bm, sic quadratum kd ad quadratum dn. Verum est (per 17. 6. Euclidis) zb ad bx atque kd ad do. Ergo sicut ZB⁴⁶⁸ ad bx sic kd ad do et ideo diametri diametris proportionales. Et propterea per 3. huius ipsae ab gd hyperbolae similes quod est primum ex propositis. // Contra sint ab gd hyperbolae similes. Aio iam quod et ipsi anguli ezh, tkl sunt aequales. Nam si similes sint⁴⁶⁹ sectiones, iam per conversam 3. huius earum⁴⁷⁰ transversae rectis [C:30r] erunt proportionales, et perinde⁴⁷¹ semidiametri semidiametris proportionales, hoc est sicut zb ad bx sic iam kd ad do et ideo per 17. 6. Euclidis sicut quadratum zb ad quadratum bm, sic et quadratum kd ad quadratum dn. Quare et sicut zb ad bm sic kd ad dn. Igitur per 6. 6, aequiangula sunt ad invicem triangula zbm kdn. Unde anguli bzm dkn respondentes invicem aequales et eorum dupli ezh tkl invicem aequales erunt, quod iam restabat demonstrandum.

Scholium

Quando autem ezh, tkl recti sunt tunc zb, bm aequales sunt,⁴⁷² necnon kd, dn aequales, quare ipsaemet bm dn sunt rectae diametri⁴⁷³ aequales iam transversis semidiametris. Ex qua aequalitate facilius arguitur sectionum similitudo, et ex similitudine aequalitas angulorum.

Scholium

Nec difficiulius ex 12. primi Conicorum demonstrabimus, quod similes hyperbolae in duobus conis a⁴⁷⁴ planis erectis super triangulis⁴⁷⁵ per axes recta basibus factae aequidistant aequiangulis triangulis per vertices ductis. Et e contrario, quodque⁴⁷⁶ talia triangula quibus aequidistant hyperbolae, angulos ad verticem coni habent aequales angulis quos lineae non tangentes comprehendunt.