XXV.

Si in quolibet cono triangulus per axem stet ad rectos basi: ellipses a planis super triangulum erectis, et auferentibus a vertice similia; verum sub contrarie⁴⁰⁴ posita triangula similes sunt, atque sub contrarie⁴⁰⁵.

In cono abg; cuius vertex b; basis ag⁴⁰⁶ triangulum abg per axem, [C:27v] sit ad rectos basi; duo autem plana ad rectos triangulo abg faciant⁴⁰⁷ duas ellipses, quarum diametri de, zh; hac lege ut triangulus⁴⁰⁸ bde similis⁴⁰⁹ sit triangulo bzh atque sub contrarie⁴¹⁰ positus; ut scilicet angulus bde sit aequalis angulo bzh, et reliquus reliquo. Aio quod ellipses de, zh similes sunt. nam cum⁴¹¹ ipsae de⁴¹², zh non sint aequidistantes ipsi ag, coincident omnino ipsi ag. quare descendentes a vertice b; et ipsis⁴¹³ de, zh aequidistantes coincident ipsi ag productae; vel ad eamdem partem a vertice, vel ad diversas, coincidant primum ad diversas, sintque bk ipsi de atque bl ipsi zh aequidistantes. et quoniam angulus abl angulo bzh aequalis est, sibi coalterno⁴¹⁴; et angulus bgk⁴¹⁵ aequalis angulo bde coalterno; et ipsi bde, bzh, per hyperbolen⁴¹⁶, sunt aequales. idcirco aequales erunt anguli abl, gbk. quare per 18. huius, bk ad mediam proportionalem inter ak, kg; atque bl ad mediam proportionalem inter gl, la eamdem habebunt, tam longitudine, quam potentia rationem. igitur et ipsae ellipticae diametri de, zh (quae per 13. primi ad suas rectas ipsarum⁴¹⁷ aequidistantium ad medias dictas, quo ad⁴¹⁸ potentiam sequuntur rationes; ad coniugatas vero quo ad longitudinem) proportionales erunt tam rectis, quam coniugatis. itaque per 4. huius ellipses de, zh similes sunt. quod si de, zh, et earum aequidistantes coincidant ad eamdem partem a vertice b, concurrant versus partes bg⁴¹⁹: sic autem fiet ut a puncto g, ipsis de, zh aequidistantes excitatae coincidant ipsi ab. coincidant, sintque gk ipsi de, atque gl ipsi zh aequidistantes. mox ipsa gt secet angulum kgl per aequalia. et quoniam angulus bgk aequalis est angulo bde; et angulus blg aequalis angulo bzh; et ipsi bde, bzh, per Hyperbolen⁴²⁰, sunt aequales; idcirco aequales erunt anguli bgk, blg. et quoniam angulus btg aequalis est angulis blg, tgl intrinsecis: angulis autem bgt aequalis angulis bgk, kgt. iam aequales erunt anguli btg, bgt. ex quibus demonstratis sequitur per praecedentem, ut ellipses, quarum diametri gk, gl similes sint. Sed per 6. huius, ellipsis Gk similis est ellipsi de: quandoquidem fiunt ab [C:28r] aequidistantibus planis. et eadem ratione similis est ellipsis zh, ellipsi gl, hoc est proportionales diametros habent ipsis⁴²¹ per 6. huius. sed per praemissam ellipses gk, gl proportionales diametros habent. igitur et ipsae de, zh ellipses habent proportionales diametros: quandoquidem proportiones eidem aequales sunt inter se aequales. quamobrem per 4. huius, ellipses de, zh similes sunt. quod⁴²² fuit demonstrandum. Appellantur autem huiusmodi ellipses sub contrariae⁴²³, quoniam a subcontrariis planis fiunt. [S:189]