XX.

Si in cono scaleno triangulum per axem stet ad rectos basi, plana vero super triangulum erecta fecerint in cono sectiones quinque, quarum diametri aequidistent lineis descendentibus a vertice³⁴² trianguli, ad partes lateris minoris³⁴³ ad basim extra productam, singulae singulis, hoc pacto, ut diameter primae sectionis aequidistet descendenti, quae cum cruribus trianguli extrinsecos angulos aequales facit: diameter secundae sectionis aequidistet descendenti, quae circulum triangulo, circumscriptum tangit; [C:25r] diameter tertiae sectionis aequidistet descendenti, quae periphaeriam sub vertice secat; diameter quartae sectionis aequidistet descendenti inter tangentem, et facientem aequos angulos cum cruribus trianguli; diameter demum quintae sectionis aequidistet extremae descendenti: tunc harum sectionum secunda circulus est³⁴⁴; caeterae vero ellipses.

Esto conus scalenus abg; cuius vertex b; basis ag; triangulum ad rectos basi abg; quinque autem plana recta ad triangulum abg, faciant totidem sectiones in cono; quarum diametri³⁴⁵ aequi[S:186]distent lineis descendentibus a vertice b, ad partes lateris minoris bg, basique ag eodem versus productae occurrant, hoc pacto; primam sectionem, cuius diameter gd aequidistet descendenti bn, quae angulos abx, gbn aequales facit; secundam cuius diameter ge aequidistet descendenti bi, quae tangit circulum abg apud b; tertiam cuius diameter gz aequidistet descendenti bf, quae periphaeriam bg secat apud k; quartam, cuius diameter gh aequidistet descendenti bl inter ipsas bi, bn; quintam cuius diameter gt aequidistet ipsi bi³⁴⁶ extremae descendentium. Dico iam quod sectio, cuius diameter ge circulus est. Nam cum per 29. 3. Euclidis, angulus gbi, et perinde³⁴⁷ ipsius coalternus bge sit aequalis angulo bag. iam planum faciens sectionem, cuius diameter ge, aufert triangulum gbe simile, ac³⁴⁸ sub contrarium triangulo abg. quare per 5. primi Conicorum, sectio, cuius diameter ge circulus est. reliquae autem sectiones, quarum diametri gd, gz, gh, gt nec aequidistantes ipsi ag; nec sub contrariae sunt, per 13. eiusdem, ellipses. Quemadmodum proponitur demonstrandum.