XIX.326
Si in quolibet cono triangulus327 per axem fiet ad rectos basiplana328 vero super329 triangulum erecta fecerint ellipses, quarum transversae diametri aequidistent descendentibus lineis a vertice trianguli, et infra secantibus periphaeriam circuli triangulum circumscribentis, basique productae coincidentibus; diameter330 ellipseos aequidistans descendenti quae prius occurrit basi productae maiorem rationem habet ad suam rectam diametrum, et ad suam coniugatam.
In cono cuius vertex b; basis ag; triangulus331 per axem ad rectos basi abg; plana duo ad rectos triangulo abg, faciant duas ellipses. unam, cuius diameter gt332 aequidistet lineae bzd, secanti apud z periphaeriam circuli abg, et occurrenti apud d punctum basi ag, productae, et alteram, cuius diameter gh333 aequidistet lineae bhe, quae secat periphaeriam apud h, et excipitur a basi apud e. Dico itaque quod gt diameter aequidistans descendenti bd, quae prius excipitur a basi producta maiorem rationem habet ad suam rectam diametrum, quam diameter gk ad suam rectam. namque per 17. huius, lineae bd proportio334 maior est ad lineam mediam proportionalem inter ad, dg: quam lineae be ad mediam proportionalem [C:25r] inter ae, eg. maior inquam proportio335 tam longitudine, quam potentia. Sed per 13 primi Conicorum, sicut est quadratum bd ad rectangulum adg; hoc est, ad336 quadratum mediae inter ad, dg; sic dia[S:185]meter gt ad rectam diametrum, et sicut quadratum be ad rectangulum aeg; hoc est ad337 quadratum mediae inter ae, eg; sic gk ad rectam suam. 3 Igitur338 maior diameter GT ad rectam suam quam diameter GK, ad rectam suam.
Item per corollarium 13. dictae, sicut bd ad mediam proportionalem inter ad, dg; sic diameter gt ad suam coniugatam, et sicut be ad mediam proportionalem inter ae eg; sic gk ad suam coniugatam. igitur maior est proportio diametri gt ad suam coniugatam; quam diametri gk ad suam coniugatam. quemadmodum339 proponitur demonstrandum.
Manifestum est ergo quod in huiusmodi ellipsibus, transversae diametri sunt maiores suis rectis, suisque coniugatis diametris: quandoquidem descendentes, quibus aequidistant transversae mediis proportionalibus, dicto modo sumptis, et longitudine, et potentia sunt maiores. quod quidem in cono recto semper accidit.
Item ellipsium eo modo factarum, illa, cuius transversa diameter acutius triangulum aufert a vertice, longior est: hoc est ellipsis, cuius diameter gt longior est, quam ellipsis, cuius diameter gk: quandoquidem gt; diameter ad suam coniugatam maior est proportio340, quam dk diameter ad suam coniugatam; et perinde341 longioris est formae.