XVIII.

Lineae, quae a vertice trianguli cuiuslibet, descendentes basi utrinque productae coincidunt, et aequales angulos cum lateribus trianguli suscipiunt: aequales periphaerias de circulo circumscribente triangulum supra basim abscindunt; et eamdem rationem habent ad medias proportionales inter basi adiectas, et eas, quae ex adiectis, et base constant.

A trianguli ABG vertice B, descendant lineae BD, BE, coincidentes basi utrinque productae apud D, E; et suscipientes angulos GBD, ABE [C:24r] aequales. Dico quod periphaeriae circuli circumscribentis triangulum ABG, quas assumunt lineae AB, BE;²⁹⁷ et altera ex parte lineae²⁹⁸ GB, BD sunt aequales. nam si latera AB, BG sint aequalia tunc manifestum est quod lineae BD, BE secant periphaeriam circuli, et periphaeriae inclusae sunt aequales. per 25. 3.²⁹⁹ quandoquidem aequales angulos subtendunt. Si autem latera AB, BG sint in³⁰⁰aequalia, tunc maius esto AB. itaque BE ducta ad partes maioris lateris, omnino periphaeriam³⁰¹ circuli secabit, secet apud Z, et aequidistans ipsi AG ducatur ZH, quae omnino secabit periphaeriam bg³⁰². secet apud H, et coniuncta BH, producatur ad occursum usque basis, apud T. eruntque periphaeriae AZ, GH aequales: quoniam iisdem³⁰³ aequidistantibus intercluduntur. quare per 26. 3. Euclidis³⁰⁴, angulus GBT³⁰⁵ aequalis angulo ABE. sed angulus ABE supponitur aequalis angulo GBD. ergo angulus GBD aequalis [S:184] angulo GBT. quod est absurdum, si linea BD non secet periphaeriam BG. secabit igitur omnino, eritque ipsamet linea BT; et assumptae periphaeriae AZ, GH, per 25. 3. aequales erunt. vel sic astructive. ponatur latus AB maius latere BG: manifestum quod BE secat periphaeriam, utpote in puncto Z ponatur et angulo ABE aequalis angulus GBT. Dico quod BT³⁰⁶ omnino secabit periphaeriam BG. ducatur enim BD tangens circulum apud B. eritque per 29. 3. angulus³⁰⁷ GBD aequalis angulo BAG³⁰⁸. angulus autem BAG maior angulo ABE³⁰⁹, extrinsecus scilicet intrinseco. ergo et angulus GBD maior angulo gbt³¹⁰. quamobrem BT media interiacet ipsis³¹¹ GB, BD. sed³¹² BD tangit ergo BT secat circulum; secet³¹³ apud H. unde, et rursus 25. 3. AZ, AH³¹⁴ periphaeriae sunt invicem aequales. Dico item quod sicut est BE ad mediam proportionalem inter AE, EG, sic est BT ad mediam proportionalem inter GT, TA. coniungatur enim ZH, quae iam aequidistabit ipsi AG. quoniam³¹⁵ interceptae periphaeriae AZ, GH sunt aequales. et ideo per 2. 6. Euclidis, sicut BE ad EZ, sic iam BT ad TH³¹⁶. quare sicut BE ad mediam proportionalem inter BE, EZ; hoc est mediam inter AE, EG; sic BT ad mediam proportionalem inter BT, TH; hoc est mediam inter GT, TA. Quod iam supererat demonstrandum.

Etmanifestum³¹⁷ quod sicut quadratum BE ad quadratum mediae proportionalis inter AE, EG; hoc est rectangulum ae³¹⁸, eg; sic est quadratum bt ad quadratum [C:24v] mediae proportionalis inter GT, TA;³¹⁹ hoc est rectangulum gt, ta. nam linearum proportionalium quadrata sunt proportionalia: quandoquidem³²⁰ si ratio simpla simplae est aequalis. et dupla duplae iam aequalis erit.

SCHOLIUM.³²¹

Septem praecedentia Theoremata quasi lemmata praemissa sunt ad distinguendas³²² deinceps ellipsium varietates a planis varie secantibus conum, sive rectum, sive scalenum factarum. Itaque sicut pro hyperbola fecimus, ita et hic pro ellipsi in quolibet cono triangulum per axem ad rectos basi ducemus, mox plana triangulo recta ellipses facientia inferemus. nam ex descendentium a verticead³²³ basim trianguli extra productam, quibus ellipticae diametri aequidistant, ratione ad medias proportionales inter adiectas basi, et eas, quae ex³²⁴, basi et adiectis constant, determinabimus rationem ellipticarum diametrorum tam ad rectas, quam ad transversas³²⁵ diametros. ut inde constet ellipsium collatio, sive quoad similitudinem, sive quoad dissimilitudinem.