XVII.

Linearum descendentium a vertice trianguli cuiuslibet, ac periphaeriam circuli circum scribentis²⁸³ triangulum infra verticem secantium, basique extra productae occurrentium, illa, quae prius occurrit basi maiorem habet rationem ad mediam proportionalem inter basi adiectam, et eam quae ex basi, et adiecta constat.

A vertice B trianguli ABG, descendant duae lineae BD, BE, coincidentes ipsi AG productae in punctus D, E; atque secantes periphaeriam circuli ABG in punctis [C:23v] Z, H. Aio quod BD, quae prius excipitur a basi AG proportio²⁸⁴ maior est ad mediam inter AD, DG; quam BE ad mediam proportionalem inter AE, EG. Ducantur enim per puncta Z, H lineae ipsi AG aequidistantes, ipsinue BG coincidentes ZT, HK. eritque per 2. 6. Euclidis, sicut BG ad GT ,sic BD ad DZ. itemque sicut BG ad GK, sic [S:183] BE ad EH. maior autem est ratio²⁸⁵ BG ad GT, quam BG ad GK. igitur maior est proportio²⁸⁶ BD ad DZ, quam BE ad EH. quare est maior ratio²⁸⁷ BD ad mediam proportionalem inter BD, DZ; hoc est mediam proportionalem inter AD, DG, quam eb²⁸⁸ ad mediam proportionalem inter BE, EH; hoc est mediam proportionalem inter AE, EG; quandoquidem si dupla duplam superat, et simpla simplam rationem excedet. Quod fuit demonstrandum.

SCHOLIUM.²⁸⁹

Notandum quod si in praemissa 16. ducenda proponeretur a vertice B ad basim AG, extra productam linea; cuius quadratum ad quadratum mediae proportionalis inter adiectam basi, et eam, quae ex basi, et adiecta constat, datam haberet rationem, ut pote²⁹⁰ quam ED ad DH, tunc posita zd²⁹¹ media proportionali inter ED, DH, ducenda esset, exempli gratia, linea BL; quae ad mediam proportionalem inter AL, LG haberet rationem ED²⁹² ad DZ, modo iam tradito. sic enim per 17. 6. Euclidis, quadratum ED ad quadratum DZ; et perinde quadratum BL ad quadratum dictae mediae esset, sicut ED ad DH. et factum esset. et illud adde quod pro quadrato dictae potes²⁹³ sumere rectangulum AL, LG; quod tali quadrato aequale est, per 16. 6.²⁹⁴ item illud, quod praecedens 17.²⁹⁵ de ratione linearum demonstrat, verum etiam erit de ratione quadratorum ab ipsis²⁹⁶ lineis factorum. quandoquidem si ratio simpla simplam superat, et dupla duplam superabit.