XIII.
A vertice dati trianguli ad partes cruris, reliquo non minoris, ad basim extra productam: lineam ducere, quae datam habeat rationem ad mediam proportionalem inter basi adiectam, et eam, quae ex basi, et adiecta constat. oportet autem datam rationem esse maioris ad minus.
Sit datum triangulum ABG; data ratio, quae DE ad DZ, oportet a vertice B ad partes lateris BG, non minorem ipso AB, ducere lineam ut proponitur. Est autem necessarium ut ED maior sit quam DZ. secus enim problema non esset possibile, per praecedentem. Itaque sit per 9. 6. Euclidis, sicut DE ad DZ, sic DZ ad DH; ut ED, DZ, DH sint continue proportionales; et descripto per 5. 4. circum ABG triangulum circulo ABK. sit per 12. 6. sicut EH ad HD, sic BT ad TG; et per punctum T agatur [S:179] ipsi AG aequidistans TK; quae secet peripheriam circuli195 in puncto K; et coniuncta BK, producatur, donec ipsi AG productae coincidat [C:22v] apud L. Dico igitur quod BL est recta, quam ductum iri volumus196. Namque a puncto L, per 16. 3. ducatur LM circulum tangens apud M. eritque per 35. 3. et 15. 6. Euclidis, LM media proportionalis inter GL, LA, et inter KL, LB. Et quoniam per 2. 6. sicut BK ad KL, sic BT ad TG; et ideo sic197 EH ad HD. et coniunctim sicut ED ad DH, sic BL ad198 LK; et199 sic quadratum BL ad quadratum LM.igitur sicut quadratum BL ad quadratum LM, sic quadratum ED ad quadratum DZ. Quare, et sicut ED ad DZ, sic BL ad LM. quae media proportionalis est inter AL, LG. Igitur BL est linea, quae ducenda proponitur.
SCHOLIUM.200
Unde si data ratio fuisset, quae ED ad DH, et oportuisset ducere a vertice B lineam BL, cuius quadratum ad rectangulum ALG foret, sicut ED ad DH. iam et id ipsum201 factum esset,fuit enim sicut ED ad DH, sic quadratum BL ad quadratum LM; hoc est rectangulum ALG. et oportet ut ED sit maior quam DH; sicut et ipsa202 ED ipsa DZ maiorem esse necesse fuerat.