XIV.

A vertice trianguli ad partes cruris reliquo minoris linea ducta, basique extra productae coincidens: tunc minimam habet rationem ad mediam proportionalem inter adiectam basi, et eam, quae ex basi, et adiecta constat, quando aequales facit cum cruribus trianguli extrinsecos angulos.

Sit triangulum ABG a cuius vertice B ad partes lateris BG ipso ab²⁰³ minoris, ducatur linea XBN, coincidens ipsi AG basi productae apud punctum N; hac scilicet conditione, ut anguli extrinseci XBA, GBN sint aequales. Dico iam quod linea BN minimam habet rationem ad mediam proportionalem inter GN, NA omnium rationum quas habent ab eodem B vertice ductae lineae, eidemque basi productae coincidentes, ad medias similiter sumptas proportionales. circumscribatur²⁰⁴ enim per 5. 4. Euclidis, triangulo ABG circulus BGP; sectoque per medium angulo ABG, ducta BP ad periphaeriam. erunt anguli XBP, PBN aequales quandoquidem [C:23r] singuli ex binis constant aequalibus; et ideo recti per diffinitionem. rectus ergo cum sit angulus PBX, et linea BP subtendat arcum PGB, minorem semicirculo: iam bx²⁰⁵ complebit semicirculum, per 29. 3. Euclidis; et ideo coniuncta PX dyameter²⁰⁶ erit; quae cum secet arcum APG per aequalia: secabit, et chordam AG, ut puta²⁰⁷ in puncto O per medium, et ad rectos. quare XR ad rectos ipsi PX dyametro²⁰⁸ per 15. 3. circulum tangens, aequidistabit ipsi AG. coincidat itaque GB producta ipsi XR apud R. et a vertice B deducatur alia quaevis linea coincidens ipsi AG productae, ut pote²⁰⁹ BL. iam demonstrandum est quod BN minorem habet rationem ad mediam proportionalem inter AN, NG; quam linea BL ad mediam proportionalem inter AB²¹⁰, LG. ponatur enim ducta inter ipsas GB, BN. et tunc aut secabit arcum BX, aut tanget circulum apud B, aut secabit arcum BG. si secabit arcum BX, secet apud K; et ducatur KT aequidistans ipsis XR, AG; et coincidens ipsi BR, apud T punctum. et erit minor proportio²¹¹ BG ad GR, quam BG ad GT. sed propter aequidistantiam linearum, et similitudinem triangulorum; sicut BG ad GR, sic BN ad NX: atque sicut BG ad GT, sic BK ad LK. igitur minor erit proportio²¹² BN ad NX, quam BL ad LK. quare minor erit ratio²¹³ BN ad mediam proportionalem inter BN, NX; quam BL ad mediam proportionalem inter BL, LK (quandoquidem si dupla proportio²¹⁴ minor est²¹⁵ quam dupla et²¹⁶ simpla minor est²¹⁷ quam simpla.) [S:180] verum media proportionalis inter BN, NX, per 35. 3 est etiam²¹⁸ media proportionalis inter AN, NG: et media proportionalis inter BL, LK est et media proportionalis inter AL, LG. ergo minor erit²¹⁹ ratio²²⁰ BN ad mediam proportionalem inter AN, NG quam BL ad mediam proportionalem inter AL, LG. quod est propositum. Quod si BL tangeret²²¹ circulum apud B. tunc per 35. 3. ipsamet BL esset media proportionalis inter AL, LG. cumque BN sit minor media proportionali inter BN, NX; hoc est media proportionali inter AN, NG. rursus patet²²² propositum. Demum si bi²²³ secaret²²⁴ arcum BG: tunc bi²²⁵ maior esset quam media proportionalis inter ipsam, et partem sui extrinsecam circulo: unde a fortiori magis constaret propositum. Nunc autem sumatur linea ducta a vertice B coincidensque ipsi AG productae ultra punctum N, ut pote²²⁶ BY; quae producta secet circulum apud S; et producta ST penes ipsas XR, AG. non aliter quam in primo casu²²⁷ demonstrabimus minorem esse rationem²²⁸ BN ad NX quam BY ad YS: et perinde minorem esse proportionem²²⁹ BN ad mediam proportionalem inter BN, NX, hoc est, mediam proportionalem inter AN, NG; quam BY ad mediam proportionalem inter BY, YS; hoc est, mediam proportionalem inter AY, YG. quod est propositum. [C:23v] Item ducatur linea BF, coincidens ipsi AG productae ultra punctum Y. iam similiter ea²³⁰ producta donec occurrat peripheriae apud punctum C; atque ipsa²³¹ CQ penes ipsas XR, AG. ostendemus quod minor est ratio²³² BY, ad mediam proportionalem inter AY, YG; quam BF ad mediam proportionalem inter AF, FG. Et similiter id ipsum²³³ ostendemus de linea BL collata ad quamvis lineam descedentem a puncto B ad aliquod punctum inter L, G in ipsa LG linea. ostensum²³⁴ est ergo quod ratio²³⁵ BN minor est ad mediam proportionalem inter AN, NG; quam BL ad mediam proportionalem inter AL, LG; et quam BY ad mediam proportionalem inter AY, YG²³⁶; quodque²³⁷ BY ad mediam proportionalem inter AY, YG, est proportio²³⁸ minor quam BF ad mediam proportionalem inter AF, FG; et similiter BL collata ad quamvis descendentem inter ipsas²³⁹ BG, BL. itaque BN inter omnes a vertice B ad basim AG productam descendentes, ipsa BN minimam habet rationem ad mediam proportionalem, tali modo sumpram. quod²⁴⁰ iam demonstrandum proponitur.