XXVIII.

Si super eumdem axim, ac sub eodem vertice constituantur quinque sectiones eandem rectam diametrum habentes, earum intima erit ellipsis ad axem minorem adiacens, quae quidem cadet³³⁵ intra circulum, qui intra ellipsim ad axem³³⁶ maiorem constitutam, quae intra parabolam, quae tandem intra hyperbolem³³⁷ omnium extremam ad ipsum verticem sese tangentes.[C:14r]

Sit hyperbole ab, parabola kb, ellipsis lb³³⁸ adiacens ad axem³³⁹ maiorem bh, circulus mb, ellipsis nb, adiacens ad axem³⁴⁰ minorem bz, transversa hyperboles bg, recta diameter his quinque³⁴¹ sectionibus communis bd, circuli diameter be ipsi bd aequalis. Demonstrandum est quod ellipsis nb cadit intra circulum bm, circulus autem intra ellipsim bl³⁴², ellipsis autem bl intra parabolen kb, parabole³⁴³ demum intra hyperbolen ab, quodque omnes sese contingunt apud b verticem. Hoc pacto, coniungatur gd, et producatur, coniungatur item z, e, h puncta cum d puncto, productis lineis zd, ed, hd. Deinde per quodvis relictum punctum in axe be³⁴⁴, utpote t ordinate ducatur linea, coincidens singularum sectionum peripheriis apud a, k, l, m, n³⁴⁵ puncta,,ipsisque zd, ed, hd, ipsique gd productae³⁴⁶, apud x, o, p, s [S:168] puncta, ipsa autem dr perpendicularis descendat ad ordinatam. Sic tr aequalis erit ipsi bd.

Quibus peractis³⁴⁷, iam, per 13. vel 15.³⁴⁸ primi Conicorum, nt poterit rectangulum btx, at mt poterit rectangulum bte, hoc est rectangulum bto, maius ipso rectangulo btx. Igitur brevior nt, quam tm, et perinde punctum n, et similiter quodvis aliud punctum in peripheria ellipsis bn, et ideo tota peripheria, cadet intra circulum mb. Non aliter quoniam mt potest rectangulum bto. At lt potest rectangulum btp, per 13. primi Conicorum, maius ipso rectangulo bto. Aguetur mt brevior quam tl. Et³⁴⁹ perinde peripheria circuli bm intra peripheriam ellipsis lb. Item quoniam kt, per 11. primi Conicorum, potest rectangulum btr, maius ipso rectangulo btp. Arguetur tl brevior quam tk, et ideo peripheria ellipsis lb intra peripheriam parabolae kb. Denique quoniam³⁵⁰ at, per 12. primi Conicorum, potest rectangulum bts, maius ipso³⁵¹ rectangulo btr, constabit kt³⁵² brevior quam ta. Et propterea peripheria paraboles kb intra peripheriam hyperboles ab contineri ostendetur. Solum autem punctum b, quod extremum est axium, et verticem³⁵³ sectionibus communis communicatur³⁵⁴ a cunctis peripheriis, in quo sese³⁵⁵ vicissim contingunt. Et haec erant quae proponebantur demonstranda.