XXVII.

Si paraboles, et hyperboles axes aequidistent, impossibile erit ut hyperbole intrinsecus tangat parabolam.

Sit hyperbole ab, cuius axis bt, parabole ed, cuius axis dg, sintque bt, dg axes aequidistantes.

Aio iam quod³²⁴ impossibile est ut hyperbole ab intus tangat parabolen ed. Si enim hyperbole ab sit extra peripheriam paraboles ed, iam tunc constat propositum. Non enim intus tangere potest extra incedens. Si autem hyperbole ab sit intra parabolen, tunc ab eius vertice b ducantur nontangentibus³²⁵ aequidistantes be, bh, quae cum secent ipsam bt, secabunt utrinque³²⁶ ipsi bt aequidistantem dg, secent in punctis g, z³²⁷. Itaque per 27. primi Conicorum, ipsae gbe, bzh coincident peripheriae paraboles. coincidant apud e, h;³²⁸ et eaedem per additam³²⁹ primae 2ⁱ Conicorum, ferentur semper intra peripheriam³³⁰ hyperboles. Omnino igitur hyperbole ab producta egredietur, secabitque peripheriam paraboles³³¹, numquam deinceps ipsi occursura. Secat igitur ab hyperbole ipsam ed parabolen, non autem³³² tangit intus posita et hoc erat demonstrandum.

Sed ne quis dicat contactum fieri posse apud b verticem hyperboles, hoc quoque dubium est removendum. Fiat enim si possibile est tactus apud b. Iam tunc kbl linea, tangens apud ipsum b punctum parabolam, tanget utique ibidem hyperbolen. Sed et linea mbn ad axem³³³ bt ordinate applicata, per 17. primi Conicorum, tanget sectionem abh. Cadet ergo linea bl inter mbn tangentem, et peripheriam tactam ba, quod per 32. primi Conicorum, est impossibile. Non admittitur igitur³³⁴ tactus apud b verticem, sed neque alibi, ut ostensum est. Superest ergo propositum.