XXIX.

Quod si³⁵⁶ quinque memoratae sectiones ad eumdem axem³⁵⁷ adiacentes, ac sub eodem vertice, se se vicissim³⁵⁸ super uno puncto secent, iam tunc ipsarum ordo praeposterus erit ad praedictum, nam earum intima erit hyperbolae; quae quidem cadet intra parabolen, quae intra ellipsim axis longioris, quae intra circulum, qui tandem intra ellipsim axis brevioris, omnium extremam, ad ipsum tamen ut antea verticem se se tangentes.[C:14v]

Sit ellipsis apb, cuius axis brevior bx, circulus arb, cuius diameter bo, ellipsis asb, cuius axis longior bm, parabole aib³⁵⁹, cuius recta diameter bd, hyperbole afb, cuius transversa bg. Demonstrandum est quod hyperbole afb cadit intra parabolen aib³⁶⁰, parabole autem intra ellipsim asb, axis longioris, ellipsim autem asb intra circulum arb, circulus denique intra ellipsim apb, axis brevioris. Dum scilicet omnes hae quinque sectiones secant se invicem apud unum a punctum. Ducatur enim a puncto a ordinate ad axim linea ae, et producatur, ponaturque ipsi oe aequalis ez, et coniungatur gz³⁶¹, secans bd apud h, item coniungantur mz, oz, xz, et producantur donec ipsi bd productae occurrant apud puncta l, k, m. Et cum in circulo linea ae possit rectangulum beo, quod est rectangulum bez. Et per 11. primi³⁶² in parabola aib³⁶³, possit linea ae rectangulum dbe. Iam aequale erit³⁶⁴ ez ipsi bd. Quare dbez parallelogrammum rectangulum erit, quod potest ae ordinate ducta in una quaque³⁶⁵ sectionum. Igitur rectangulum dbez ad be receptam ab ipsa ae, ordinate ducta, ita sistitur, ut angulus z sit in linea quae coniungit extremum transversae, cum extremo rectae diametri. Sed extremum transversae³⁶⁶ in hyperbola³⁶⁷ est g punctum, in ellipsi asb est m punctum, in circulo o punctum, in ellipsi apb est x punctum. Igitur recta diameter hyperboles afb erit bh, ellipsis asb erit bl, circuli erit bk, ellipsis apb erit bn. Itaque per punctum t utcunque relictum in³⁶⁸ linea be ducatur ordinate linea coincidens sectionibus apud p, r, s, i, f³⁶⁹, puncta, ipsisque zh, zd, zl, zk, zn apud puncta q, θ, c, y, u³⁷⁰. Et tunc in hyperbola quidem linea ft po[S:169]terit rectangulum btq, in parabola vero linea TY³⁷¹ poterit rectangulum BTΘ, maius, quare brevior erit ft, quam ti³⁷², et f punctum in peripheria hyperboles erit intra parabolen aib³⁷³.

Et similiter omne³⁷⁴ aliud punctum in peripheria hyperboles, et ipsa peripheria tota afg³⁷⁵ erit intra parabolam. Non aliter quoniam st in ellipsi asb potest rectangulum btc³⁷⁶, maius rectangulo btθ; quod potest linea ti³⁷⁷, arguetur linea ti³⁷⁸ brevior quam linea ts, et peripheria paraboles aib³⁷⁹ intra ellipsim asb. Item quoniam in circulo linea rt potest rectangulum bty³⁸⁰, maius rectangulum btc³⁸¹; quod potest linea st. Arguetur linea st brevior, quam linea rt, et peripheria ellipsis asb [C:15r] intra circulum arb. Denique quoniam in ellipsi apb linea pt potest rectangulum btu³⁸², maius rectangulo bty³⁸³, quod potuit linea rt, constabit linea rt brevior, quam linea pt, et peripheria circuli arb intra ellipsim apb contineri. Et solum b verticis punctum peripheriis sectionum ipsarum esse commune. quae fuerant demonstranda.

SCHOLIUM.³⁸⁴

Notandum quod harum quinque sectionum peripheriae super a punctum se vicissim secantes, sub ipso deinceps puncto in contraria feruntur, inverso ordine: ut hyperbole quae intima erat, fiat iam extrema, atque ellipsis quae fuerat extrema³⁸⁵, iam inde intima feratur, sicut et ipsae rectae lineae diametrorum extrema coniungentes atque in ipso z puncto se vicissim secantes sub tali protinus puncto in contraria feruntur.