XXII.

Eisdem subiectis, si paraboles recta ponatur maior quam recta hyperboles, tunc parabole extra procedens, utrinque coincidet hyperbolae. [C:12r]

Eisdem manentibus, sit paraboles alb recta bd, maior quam be recta hyperboles akb. Aio tunc quod alb parabole partim extra hyperbolen akb circumlata coincidit eidem. Agatur enim a puncto d²⁸⁴ axi bt aequidistans, ipsique ge coniunctae, ac productae concurrens, apud h, linea dh²⁸⁵, et per h punctum ordinate ducatur in hyperbola²⁸⁶ linea hta. Et tunc per 12. primi Conicorum, in hyperbole²⁸⁷ linea at poterit rectangulum bth, at per 11. eiusdem, in parabole²⁸⁸ ordinate ducta a puncto t poterit rectangulum dbt, quod aequale est rectangulo bth. Quare talis ordinate ducta in parabola erit ipsamet at linea. Et perinde a punctum est in utraque peripheria. Unde necesse est hyperboles, et paraboles peripherias super eodem puncto a se invicem secare. Nam si capiatur relictum punctum k in peripheria hyperboles inter a, b²⁸⁹ puncta, et per ipsum ordinate²⁹⁰ ducatur lkmn, coincidens parabolae, axi, et ipsi ge productae apud l, m, n²⁹¹ puncta, iam per 12. p. Conicorum, km poterit rectangulum bmn in hyperbola, at in parabola per 11. eiusdem, lm poterit rectangulum dbm, maius ipso rectangulo bmn. Quamobrem lm longior quam mk, et ideo punctum l, et omne aliud punctum in peripheria paraboles, inter a, b²⁹² puncta, et tota talis peripheria cadet extra hyperbolen. Sub puncto autem a per relictum punctum o in parabola ducatur ordinate linea pors, coincidens hyperbolae, axi, et ipsi ge productae apud p, r, s²⁹³ puncta. Et tunc quoniam per 12.  primi Conicorum, pr poterit, in hyperbola, rectangulum brs, per 11. vero eiusdem, in parabola, linea or poterit rectangulum dbr²⁹⁴, minus quidem rectangulo brs. Propterea or brevior erit, quam rp; et punctum o, et omne aliud punctum²⁹⁵ sub puncto a in peripheria paraboles, et tota ipsa deinceps peripheria cadet intra hyperbolen. Id idem ad reliquas axis partes ostendemus. sicut proponitur demonstrandum.