XIX.

Suppositis iisdem, si ellipsis recta diametros ponatur maior quam recta hyperboles, tunc ellipsis hyperbolem apud verticem tangens extraque progrediens, ipsam utrinque secat.

Iisdem manentibus, ponatur bz recta ellipsis maior quam bd recta diametros hyperboles. Aio tunc quod ellipsis be tanget quidem ut prius hyperbolen apud b, verum excedens utrinque revertitur secando hyperbolen.

Nam tunc, sicut in 7.²⁶² ipsa gd producta coincidet inferius ipsi ez. Coincidat apud h punctum, per quod ordinate agatur hta, coincidens hyperbolae apud a punctum. Et ostendam quod in ipsomet a puncto ellipsis secat hyperbolen. Namque in hyperbola, per 12. 1. Conicorum at potest rectangulum bth, quod et ipsum potest ordinate ducta in ellipsi a puncto t²⁶³, per 13. eiusdem. Quare talis ordinate ducta in ellipsi, erit ipsamet at et perinde punctum a erit in peripheria utriusque sectionis. Unde necesse est eas se invicem super a puncto secare. Supra enim²⁶⁴ punctum a ordinate ducta lkmnx, non aliter quam in 7. huius ostendetur brevior km, quam lm. Et perinde arcus ellipsis bla extra hyperbolen. Sub puncto autem a ordinate ducta oprys, sicut, in 7. ostendetur or longior, quam pr. Et perinde sub eodem puncto deinceps elliptica peripheria cadet²⁶⁵ intra hyperbolen. Quemadmodum proponitur demonstrandum. [C:11r]