[A:82r]

// Lemma

Esto linea mz secta in tria mn nd dz sitque mzd cum dn simul aequale³¹⁶ zn. 205 // Dico iam quod md per medium secatur apud n.

// Secus enim sit k punctum mediae³¹⁷ sectionis.

// Eruntque per 6am secundi Euclidis mzd dk similiter 318 aequalia zk.

// Quam ob rem, quanto ^tum zn maius est ^to zk tanto oportet ^tum dn maius esse ^to dk. 206 // Sed per 4^am 2ⁱ Euclidis zn maius est ^to zk in ³¹⁹ zkn et nk.Et dr³²⁰ maius est ^to dk in ³²¹ dkn et nk. // Aequalia ergo sunt ³²² zkn cum nk ipsis ³²³ dkn et nk. // Commune auferatur nk erunt relicta aequalia: et eorum dimidia scilicet zkn ³²⁴ dkn aequalia, pars et totum quod est impossibile. // Igitur md non alibi, quam apud n per medium secatur. 207 // Quod est propositum.

30^a Si hyperbolen duae lineae tangentes coincidant, et tactus linea³²⁵ coniungat³²⁶: quae a concursu tangentium penes unam non tangentium ad tactus coniungentem, linea ducitur, per aequalia secatur a periferia sectionis.

208 Sit hyperbole abg. // Non tangentes ezh. // Tangentes adg. // Coniungens tactus ag. // Cui apud l incidat dcl aequidistans ipsi ze, quae, per 13^am 2ⁱ in uno puncto coincidet sectioni, ut apud c. // Dico iam quod dl per medium secatur apud c. 209 // Coniungatur enim dz et producatur: sitque bz aequalis zt. // Et ordinate agantur be cn. // Eritque, propter similitudinem et proportionem triangulorum dn nc sicut zb be et ideo, sicut tb rectam quandoquidem³²⁷ dupla sunt dimidiis proportionalia. // Et per 21^am primi Conicorum sicut tnb nc. // 210 Quare per 9^am quinti Euclidis tnb aequale est dn. // Est autem, per 37^am primi Conicorum mzd aequale zb. // Quandoquidem ad tangens et am applicata³²⁸ . // Ergo tnb cum zb simul aequale est³²⁹ mzd et dn simul sumptis. // Sed per 6^am 2ⁱ Euclidis tnb cum zb aequale est zn. // Igitur et zn [S:111] aequale fit ipsis mzd ³³⁰ dn simul. 211 // Quam ob rem per lemma praemissum [A:82v] ipsa md per medium secatur apud n. // Cumque cn lm sint aequidistantes; iam per 2^am 6ⁱ Euclidis et ipsa dl per aequalia similiter secatur apud c. // Id scilicet, quod proponebatur demonstrandum.