LEMMA

In circulo abg sit ab chorda: et ag diameter: data ratio de ez. Oportet a diametro ad periferiam ducere lineam⁹²⁴ penes ipsam ab ut pote ro ita, ut ro arg sit sicut de ez.

Ponatur ipsi de aequalis zh et eh bifariam secetur apud t et a circuli cen[S:48]tro

c ducatur kathetus ad ab usque periferiam ad l. Et agatur lm penes ipsam ab et coincidat ipsi ca apud m. Sitque sicut tz zh sic lm mn. Ponaturque ipsi ln aequalis lx. Et coniungantur nc cx et productae [A:36r] coincidant periferiae apud o p. Et op coniuncta secet ipsam cg apud r.

// Et quoniam tz zh sicut⁹²⁵ lm mn.

Et conversim zh zt sicut mn lm.

Et coniunctim ht tz sicut nl lm.

Et conversim zt th te

sicut ml ln lx .

Et coniunctim ze et th

sicut mx lx ln .

Et conversim te th ez

sicut lx mx mx .

Ideo ex aequali, quandoquidem zh tz th ze continuant tres rationes, quas continuant mn lm ln mx singulas singulis aequales; erit zh sive de ez sicut mn mx.

Cumque, propter angulos ad l rectos, et lineas⁹²⁶ ln lx et ipsas oc cp⁹²⁷ aequales ipsae⁹²⁸ nx op sint paralleli⁹²⁹.

Propterea cmn cro sunt invicem aequiangula: itemque ipsa cmx crp invicem aequiangula.

Quare, per 4^am 6ⁱ Euclidis mc cr sicut⁹³⁰ mn ro et sicut mx pr. Et permutatim nm ⁹³¹ mx et ideo de ez sicut or rp⁹³² et ideo per primam 6ⁱ sicut or orp⁹³³.

Sed, per 33^am tertii orp aequale est arg igitur sicut or arg sic⁹³⁴ de ez. Estque or penes ipsam ab.

Itaque or est linea, quae ducenda proponitur.

54^a Duabus datis lineis terminatis ad rectos invicem; invenire circa diametrum alteram ipsarum coni sectionem vocatam ellipsin⁹³⁵, in eodem plano lineis⁹³⁶, cuius summitas sit punctum, quod est ad rectum angulum applicatae autem a sectione ad diametrum in dato angulo possint id, quod adiacentia rectangula ad alteram lineam⁹³⁷, latitudinem habentia receptam sub ipsa ad summitatem sectionis, deficientia specie simili et similiter posito⁹³⁸ contento sub datis lineis.

Sint ad rectos datae ba ag quarum maior ab. // Datusque angulus primum⁹³⁹ rectus.

// Oportet in subiecto plano bag ellipsim describere: cuius diameter sit ab. // Summitas a. // Recta diametros ag. // Et ordinatae⁹⁴⁰ ad datum angulum applicatae.

Exurgat ex ab planum rectum ad subiectum, in quo circuli peripheria adb describatur bifariam secta apud d. Et coniungantur ad db⁹⁴¹.

Sitque ipsi ag aequalis ax.

Et penes ipsam db agatur xo⁹⁴². Et penes ipsam ab agatur oz.

Et con[A:36v]iungatur dz. // Quae producta coincidat ipsi ba apud e.

// Et coniungantur az zb et producantur. Et a puncto utcunque⁹⁴³ relicto in za quod sit h agatur penes de linea ht coincidens ipsi ab apud c ipsique zo apud l.

// Eritque, per 26^am tertii Euclidis angulus abd⁹⁴⁴ aequalis angulo dzb.

// Et quoniam⁹⁴⁵, per 16^am primi Euclidis angulus eza exstrinsecus aequalis est angulis zad zda sibi intrinsecus oppositis: et ideo aequalis angulis zbd zba per 26^am tertii: et ideo toti angulo abd et ideo ipsi angulo dzb. Atque, per 29^am primi, angulus eza aequalis angulo zht coalterno: et angulus dzb aequalis angulo zth coalterno. Propterea anguli zth zht sunt invicem aequales. Quare per 6^am primi Euclidis hz zt lineae aequales.

Describatur itaque circulus htn rectus ad thz.

Et intelligatur conus, cuius basis circulus ipsae htn vertex vero z qui rectus erit propter latera hz zt aequalia.

Et quoniam tam cir[S:49]culus htn quam subiectum planum rectum est ad thz ideo, per 19^am undecimi Euclidis circuli htn subiectique plani sectio communis, quae sit recta cm recta erit ad planum , quod per⁹⁴⁶ thz.

Et perinde ipsa cm et omnis ei parallelus recta⁹⁴⁷ erit, hoc est ad rectos ipsis⁹⁴⁸ ac ch.

Itaque quoniam subiectum planum rectum⁹⁴⁹ ad thz quod per axem coni et coincidens hz zt lateribus coni secat conum tzh.

Ideo, per 13^am huius, sectio facta in cono, cuius diameter ab ellipsis est, cuius summitas a et ordinatae⁹⁵⁰ ductae ad rectos diametro.

Et quoniam de ez per primam sexti , sicut⁹⁵¹ dez vel bea⁹⁵² per 35^am tertii ez et sic est da ao ba⁹⁵³ ax per 2^am sexti et ba ag.

Et ratio bea ez componitur ex rationibus be ez bc ct zl lt ae ez ac ch zl lh .

Ideo et ratio ba ag componetur ex iisdem rationibus zl lt zl lh .

Sed ex iisdem rationibus componitur ratio zl hlt. Igitur⁹⁵⁴ sicut zl hlt sic⁹⁵⁵ ba ag.

Quare, per 13^am huius, ellipseos⁹⁵⁶ cuius transversa⁹⁵⁷ ba rectum latus est ag. Factum est ergo, quod faciendum proponitur.

Iisdem subiectis, sit ab minor, quam ag. // Et oporteat⁹⁵⁸ circa ab diametrum, ellipsim describere, cuius recta sit ag.

// Secetur ab bifariam apud d et ducatur edz ad rectos ab. // Sitque ez media proportionalis inter ba ⁹⁵⁹ ag et apud d bifariam secta. // Item zh penes ipsam ab. // Sitque ut ga ab [A:37r] sic ez zh. // Quare ez maior⁹⁶⁰, quam zh. // Et quoniam ag⁹⁶¹ ez ab sunt in proportione continua: ideo, per 17^am sexti Euclidis ag ab et ideo ez zh sicut⁹⁶² ez ab et sicut dz da⁹⁶³.

// Describatur igitur, ut prius, ellipsis, cuius diameter ez recta vero⁹⁶⁴ zh. // Quae sit azbe. // Ibit enim per a quoniam zde da sicut⁹⁶⁵ ez zh per conversionem corollarii 13^ae huius. Ibit etiam per b quandoquidem ad db aequales.

// Et quoniam ga ab sicut⁹⁶⁶ dz da et conversim: ideo, per eiusdem corollari conversionem, recta sectionis est ag.

// Vel argue, per conversionem 2ⁱ corollarii: quoniam ez secunda diametros media proportionalis fuit inter ba primam diametrum et ipsam az⁹⁶⁷ sitque ba transversa; erit az⁹⁶⁸ recta diametros⁹⁶⁹. // Rursus ergo factum, quod proponitur.

SCHOLIUM

Attendendum⁹⁷⁰ in praesenti descriptione, quod sicut ba transversa diametros in ellipsi⁹⁷¹ habet rectam suam ag. // Ita et posita ez transversa sortitur ipsam zh rectam. // Unde, sicut patuit in 15^a huius, eiusque corollario⁹⁷² , ag ez ba sunt in proportione continua: itemque ez⁹⁷³ ba zh continue proportionales⁹⁷⁴: quare, et ag ez ba zh quatuor sunt in proportione continua.

Sed non sit iam datus angulus rectus, utpote⁹⁷⁵ bad. Caeteris, ut ante, admissis. // Secetur tunc ab per medium apud e. // Et super ae diametro describatur semicirculus aze. // Et ducatur zh penes ad ita, ut zh ahe sit sicut ga ab quemadmodum docet⁹⁷⁶ lemma praemissum. // Et coniungantur az ze et producantur. // Sitque ipsarum de ez media proportionalis et ipsique⁹⁷⁷ et aequalis sit ec.

// Et tzl aequale sit⁹⁷⁸ az. // Et coniungatur cl at⁹⁷⁹. // Et penes ipsam az agatur ipsa ntm coincidens ipsis ba cl apud n m.

// Quibus peractis, sicut antea, describatur ellipsis, cuius diameter ct recta vero tm et ordinate ductae ad rectos ipsi tc quae sit atbc⁹⁸⁰. Ibit enim per a ex conversione corollarii 13^ae huius, quandoquidem az aequale est tzl ibit et, per b quoniam ae eb aequales⁹⁸¹. Centrumque⁹⁸² sectionis erit e diametrique ab ct. // Et ipsa da tanget sectionem, per conversam 37^ae983 huius, quoniam scilicet⁹⁸⁴ dez aequale⁹⁸⁵ et. // Quare, per 47^am ab secabit actas in sectione ipsi ad parallelos, et ideo ad angulum datum bad ordinate ductas, singulas bifariam, et perinde diameter erit.

// Et quoniam ga ab sicut⁹⁸⁶ zh ahe et ratio ga ab [A:37v] componitur ex rationibus ga duplam da et duplae da ab vel da ae vel zh [S:50] he.

Et ratio zh ahe componitur ex rationibus zh he zh ha .

Ideo ratio composita ex rationibus zh he zh ha

aequalis est rationi compositae ex rationibus ga duplam da zh he .

Communis auferatur ratio zh he.

Eritque sicut zh ha vel xa an sicut ag duplam da.

// Quamobrem, per 50^am huius ag recta est ellipseos atbc cuius transversa diametros supponitur et ostensa fuit esse ba. // Adhuc ergo⁹⁸⁷ factum quod proponitur faciendum.