PROPOSITIO XX.
Si triangulum rectangulum ab uno eius latere horizontali pendeat, eique ascribantur duae figurae scalares ex parallelogrammis aeque altis compositae: punctum suspensionis centri gravitatis totius figurae inscriptae distabit a trianguli basi minus triente, figurae vero circumscriptae maius triente totius librae, eritque defectus, vel excessus aequalis sextanti altitudinis unius rectangulorum.
Sit triangulum ABC rectangulum in A, quod pendeat ex latere AB horizontali; eique ascribantur duae figurae ex rectangulis aeque altis compositae, inscripta AQEIT, circumscripta ACKPB; sitque AD tertia pars lateris AB, secenturque hinc inde DR, DS singulae aequales sextanti ipsius QE altitudinis cuiuslibet rectanguli AE. Aio punctum suspensionis ex centro gravitatis inscriptae figurae esse punctum R; et locus suspensionis figurae circumscriptae ex eius centro esse punctum S. Secetur libra bifariam in V, sumanturque hinc inde VX, VZ singulae aequales sextanti ipsius QE altitudinis unius rectangulorum. Quia in libra AB serie continuata suspenduntur similia, et aequalia triangula rectangula QCE, YEF etc. quae similiter applicantur super libram horizontalem, ut latera homologa QE, YF etc. aequidistent librae AB. Ergo per praecedentem punctum suspensionis ex centro communis gravitatis omnium triangulorum distat a medio puncto V versus bases sextante unius lateris QE, scilicet cadit in puncto X. Similiter ostendemus, quod locus suspensionis per centrum gravitatis omnium triangulorum CEK, EFL, IBP etc. cadet in puncto Z. Postea quaelibet portio librae aequalis altitudini unius rectangulorum quarum una TB intelligatur divisa in sex partes aequales; iam productum ex numero senario in multitudinem partium librae, seu in numerum triangulorum suspensorum, aequale erit multitudini particularum totius librae, quarum medietas erit AV, tertia vero pars erit AD: unde earum differentia VD erit sexta pars totius librae; ideoque continebit tot particulas, sextas unius lateris trianguli, vel portionis librae, quot sunt altitudines rectangulorum, vel triangulo[S:174]rum suspensorum (propterea quod numerus ille productus efficitur ex senario in multitudinem praedictarum partium, ideoque hic toties libram AB metitur, quoties unitas numerum senarium mensurat, ut deducitur ex 39. et 15. 16. septimi elementorum Euclidis) et quia portiones VX et RD sunt aequales (quaelibet enim sexta pars est unius portionis, seu altitudinis QE rectanguli AE) estque DX communis: ergo XR aequalis erit VD.
Quare XR sexta pars quoque erit totius librae, nempe continebit tot particulas sextas unius portionis TB quot sunt portiones eiusdem librae AB. Modo quia triangula BIT, et BCA sunt similia, et latus BT metitur homologum latus BA; ergo ex 19. sexti Euclidis triangulum BIT ad triangulum BCA habebit eamdem rationem, quam quadratum unitis BT ad quadratum multitudinis partium librae AB; suntque triangula suspensa CQE, EYF, ITB etc. tot numero, quot sunt portiones librae AB; igitur triangulum ABC ad triangula suspensa CQE, EYF, ITB etc. eamdem rationem habebit, quam numerus quadratus partium librae AB ad eius latus, seu quam habet latus ad unitatem ex definitione 18. septimi elementorum Euclidis: continebat vero XR tot particulas sextas unius portionis TB quot fuerant portiones librae AB, et earumdem RD est una: igitur ut triangulum ABC ad omnia triangula suspensa CQE, EYF, ITB etc. ita est XR ad RD, et dividendo ut figura inscripta AQEIT, ad omnia triangula suspensa CQE, EYF, ITB etc. sic erit XD ad DR: erat autem X punctum suspensionis ex centro communis gravitatis omnium triangulorum CQE, EYF, ITB etc. D vero est locus suspensionis centri gravitatis totius trianguli ABC ex 13. secundi momentorum aequalium ergo punctum R est locus suspensionis residui eiusdem trianguli, nempe figurae inscriptae AQEIT ut constat ex 27. primi momentorum aequalium.
Tandem pro figura circumscripta advertendum est, quod punctum Z est locus suspensionis centri gravitatis communis omnium triangulorum CKE, ELF, FNH, etc. estque SD aequalis ZV igitur ZS aequalis est VD, nempe continet tot particulas sextas unius portionis, seu lateris CK quot sunt portiones librae: habet vero triangulum ABC ad omnia triangula appensa CKE, ELF, FNH, etc. eamdem proportionem quam quadratum numeri multitudinis partium librae ad eiusdem latus, seu quam ZS ad SD; suntque Z et D puncta suspensionum ex centris gravitatum partium figurae circumscriptae, nempe una pars, quae est triangulum ABC pendet ex D puncto per 43. secundi aequalium momentorum reliqua vero pars, quae est aggregatum triangulorum CKE, ELF, FNH, etc. suspenditur ex puncto Z. Igitur per 28. primi aequalium momentorum punctum S erit locus suspensionis centri gravitatis communis ambarum partium, nempe totius figurae circumscriptae ACKPB. Constat ergo propositum.
SCHOLIUM.
Facile ex hac propositione deducitur, quod si super triangulum ABC, et super figuras adscriptas ad eandem altitudinem eleventur prismata: tunc constat ex 6. [S:175] quarti, et 13. secundi aequalium momentorum quod punctum suspensionis ex centro gravitatis prismatis triangularis ABC sit idem punctum D, ubi nimirum libra in proportione dupla secatur. Id ipsum verificatur de omnibus parallelepipedis aeque altis, et aequelatis componentibus figuras adscriptas, proindeque figurae solidae inscriptae punctum suspensionis per centrum gravitatis eius erit punctum R, non secus ac in figura plana contingebat: figurae vero circumscriptae punctum suspensionis erit in S.