PROPOSITIO XXII.

Si conoides ellipticum plano secetur ad aequidistantiam axis ducto; sectio ellipsis erit ei, quae circumlata solidum describit similis.

Conoides solidum, seu sphaeroides esto descriptum ab ellipsi ABCD super axem AC circumlata descriptum; sitque altera ellipsis diametros BD, centrumque E, in quo per medium sese vicissim secant diametri: ducatur et ipsi AC axi aequidistans FG, per quam ducatur planum erectum super planum ellipsis ABC; et secans solidum. Aio quod sectio facta ellipsis erit ellipsi ABC similis; nam FG per medium secatur a diametro BD, secetur in puncto I; assumatur et quodvis aliud punctum in diametro FG, quod sit K, per quod ducatur MKN aequidistans ipsi BD, et secans ipsam AC apud O, et per BD, MN agantur plana erecta super axem AC secantia solidum: eruntque sectiones factae pe 17. huius, circuli quorum diametri BD, MN, et [S:242] quorum centra E, O: sintque talium circulorum cum plano ducto per FG communes sectiones lineae IP, KQ; itaque sectio per tale planum in solido facta ibit per puncta F, Q, P, G; et circuli dicti per ipsa P, Q puncta transibunt. Ducantur, et ellipsim ABC tangentes apud A, B puncta lineae AL, BL, quae per conversam 17. primi conicorum elementorum ordinatae erunt ad axes AC, BD, a quorum extremis educuntur. Rectangulum igitur erit quadrilaterum AEBL, ergo propter aequidistantiam linearum, iam per 17. tertii conicorum fiet sicut quadratum AL ad quadratum LB, hoc est sicut quadratum BE ad quadratum EA, sic iam rectangulum DIB, hoc est quadratum PI, ad quadratum IG. Ecce igitur diametri ellipsis ABCD proportionales sunt diametris ellipsis FPG, hoc est sicut BE ad EA, sic iam PI ad IG, item sicut quadratum AL ad quadratum LB, sic rectangulum MKN hoc est quadratum QK ad rectangulum GKF; et perinde sicut quadratum PI ad quadratum IG: et similiter quod ostensum est de ordinata KQ ad diametrum FG, ostendetur idem de quavis alia in sectione FPG ad diametrum FG ordinata. Ellipsis igitur est FPG, et ipsi ABC ellipsi similis. Quod erat demonstrandum. Cuius quidem diametri FG, PI, centrumque I.

Et praesentis quoque demonstrationis exequutio tamquam facilis ab Archimede fuerat omissa.

COROLLARIUM.

Hinc ergo manifestum est, quod si conoides ellipticum secetur duobus planis parallelis ad aequidistantiam axis, factae sectiones erunt ellipses ei, quae circumlata solidum describit, et sibi invicem similes.