Modalita' d'esame e bibliografia per il corso di Geometria Riemanniana

Gli studenti potranno svolgere l'esame secondo una delle seguenti modalita':

Colloquio orale tradizionale, con domande sul contenuto del corso

Consegna, con qualche giorno di anticipo sull'esame orale, dello svolgimento scritto di due esercizi per ciascuno dei 4 fogli che trovate qui (per un totale di 8 esercizi). Inoltre, un seminario della durata di 45 minuti circa, su uno dei temi elencati qui sotto, oppure su un tema proposto dal candidato.

Elenco qui sotto alcune proposte per i seminari. In molti casi i passi proposti sfruttano qualche risultato non dimostrato a lezione (ma spesso contenuto nei testi proposti). Spettera' al candidato scegliere quali risultati richiamare brevemente e quali evenutualmente dimostrare.

Possibili temi per i seminari:

Relazioni tra la curvatura ed il volume. Si tratta delle pagine da 139 a 151 del libro "Riemannian Geometry" di Gallot, Hulin e Lafontaine. In alternativa, il candidato puo' seguire il testo "Riemannian Geometry" di Sakai, nelle pagine 154-158 e 193-198 (fino al Teorema 1.6).

Il Teorema della sfera, come spiegato nel Capitolo 13 del testo "Riemannian Geometry" di do Carmo.

Il Teorema di Toponogov, come viene spiegato qui. Si tratta delle pagine 1-20 del file. Il candidato puo' poi descrivere una delle applicazioni del teorema a sua scelta, tra quelle proposte nel file.

Applicazioni del Teorema di Toponogov. Dopo avere enunciato il Teorema di Toponogov, il candidato puo' spiegare come esso si possa applicare per ottenere qualche interessante conseguenza geometrica (come il Soul Theorem, o il Teorema di Gromov-Shioiama). Il testo di riferimento si trova qui.

Il Teorema del Toro Piatto, che da' una caratterizzazione molto precisa dei sottogruppi abeliani del gruppo fondamentale di spazi metrici localmente CAT(0). Si tratta delle pagine 228-249 del libro di Bridson e Haefliger citato in bibliografia. Il candidato puo' poi descrivere un'applicazione a sua scelta tra quelle descritte nelle pagine 250-259.

Per chi conoscesse la Teoria di Morse e un po' di omotopia, e' possibile preparare un seminario sulle pagine 83-123 del libro "Morse Theory" di J. Milnor, che tratta di alcune intererssanti applicazioni della geometria Riemanniana (in particolare dello studio dello spazio delle geodetiche) all'omotopia delle varieta'.

Un recente articolo che estende la nozione di punto coniugato al contesto degli spazi di lunghezze (o geodetici). Nonostante sia piuttosto lungo, e' molto discorsivo e diverse parti si legano a nozioni e tecniche discusse in classe. Si trova qui.

Bibliografia per il corso

Dall'inizio del corso fino al Teorema di Bonnet-Myers ho seguito per lo piu' i testi [1] e [2].

Un testo che concentra molta attenzione sui teoremi di confronto e' [3].

La parte finale del corso, nella quale ho sviluppato la teoria degli spazi CAT(k), e' trattata in [4]. Spero di trovare il tempo di scrivere una nota sulla dimostrazione data a lezione della coincidenza di angolo Riemanniano e angolo di Alexandrov nelle varieta' Riemanniane.

[1] M. Abate, F. Tovena: Geometria Differenziale.
[2] M. P. Do Carmo: Riemannian Geometry.
[3] T. Sakai: Riemannian Geometry.
[4] Bridson, Haefliger: Metric spaces of nonpositive curvature. Springer-Verlag, 1999.